Many valued logics: interpretations, representations and applications

Abstract

This thesis, as the research activity of the author, is devoted to establish new connections and to strengthen well-established relations between different branches of mathematics, via logic tools. Two main many valued logics, logic of balance and L ukasiewicz logic, are considered; their associated algebraic structures will be studied with different tools and these techniques will be applied in social choice theory and artificial neural networks. The thesis is structured in three parts. Part I The logic of balance, for short Bal(H), is introduced. It is showed: the relation with `-Groups, i.e. lattice ordered abelian groups (Chapter 2); a functional representation (Chapter 3); the algebraic geometry of the variety of `-Groups with constants (Chapter 4). Part II A brief historical introduction of L ukasiewicz logic and its extensions is provided. It is showed: a functional representation via generalized states (Chapter 5); a non-linear model for MV-algebras and a detailed study of it, culminating in a categorical theorem (Chapter 6). Part III Applications to social choice theory and artificial neural network are presented. In particular: preferences will be related to vector lattices and their cones, recalling the relation between polynomials and cones studied in Chapter 4; multilayer perceptrons will be elements of non-linear models introduced in Chapter 6 and networks will take advantages from polynomial completeness, which is studied in Chapter 2. We are going to present: in Sections 1.2 and 1.3 all the considered structures, our approach to them and their (possible) applications; in Section 1.4 a focus on the representation theory for `-Groups and MV-algebras. Note that: algebraic geometry for `-Groups provides a modus operandi which turns out to be useful not only in theoretical field, but also in applications, opening (we hope) new perspectives and intuitions, as we made in this first approach to social theory; non-linear models here presented and their relation to neural networks seem to be very promising, giving both intuitive and formal approach to many concrete problems, for instance degenerative diseases or distorted signals. All these interesting topics will be studied in future works of the author. [edited by author]

Questa tesi, come l’attivit`a di ricerca dell’autore, `e dedicata a stabilire nuove connessioni e a rafforzare le relazioni ben consolidate tra diversi settori della matematica, attraverso strumenti logici. Sono considerate due principali logiche a piu` valori, logic of balance e L ukasiewicz logic; le loro strutture algebriche associate verranno studiate con strumenti diversi e queste tecniche saranno applicate nella teoria della scelta sociale e nelle reti neurali artificiali. La tesi `e strutturata in tre parti. Part I Viene introdotta la Logic of balance. Viene mostrato: la relazione con `-Groups, gruppi abeliani ordinati reticolarmente (Chapter 2); una rappresentazione funzionale (Chapter 3); geometria algebrica della variet`a degli `-Groups con costanti (Chapter 4). Part II Viene fornita una breve introduzione storica della logica di L ukasiewicz e delle sue estensioni. Viene mostrato: una rappresentazione funzionale tramite stati generalizzati (Chapter 5); Un modello non lineare per le MV-algebre e uno studio dettagliato di esso, culminando in un teorema categoriale (Chapter 6). Part III Sono presentate applicazioni alla teoria delle scelte sociali e delle rete neurali artificiali. In particolare: le preferenze saranno correlate ai reticoli vettoriali e ai loro coni, richiamando la relazione tra polinomi e coni studiati nel Capitolo 4; I multilayer perceptrons saranno elementi di modelli non lineari introdotti nel Capitolo 6 e le reti prenderanno vantaggi dalla completezza polinomiale, studiata nel Capitolo 2. La geometria algebrica per gli `-Groups fornisce un modus operandi che risulta utile non solo nel campo teorico, ma anche nelle applicazioni, aprendo (speriamo) nuove prospettive e intuizioni, come abbiamo fatto in questo primo approccio alla teoria sociale; I modelli non lineari qui presentati e la loro relazione con le reti neurali sembrano molto promettenti, offrendo un approccio intuitivo e formale a molti problemi concreti, ad esempio malattie degenerative o segnali distorti. Tutti questi argomenti saranno oggetto di studio in opere future dell’autore. [a cura dell'autore]